理想的河牌圈下注尺度
对河牌圈玩法运用理论的最令人兴奋的一个方面是，在许多场合，我们可以用运用理论解出理论上完美的下注尺度。但是在介绍和解释公式之前，最好首先使用一些容易形象化的例子来讨论河牌圈下注尺度。
即使不能解出精确的答案，但首先预测正确的答案，然后检查我们的预测有多精确通常也是一个好主意。例如，我们之前学过，根据经验来说，当翻牌圈在有利位置加注时，使用约2：１的诈唬牌与价值牌比率比较好。但是，如果我们问一名没有很好掌握理论的牌手，他的翻牌圈加注范围中应该有多少诈唬牌，他将几乎总是认为自己应该诈唬更少一点。这是因为，他不懂得：当还有这么多下注圈可行动时，诈唬那么多是可行的。
这个信息是有用的，因为它使我们对特定水平的牌手真正想法和打法有所了解。那些打低注额的网络牌手几乎肯定不会在翻牌圈诈唬足够多。这鼓励我们在面对一个加注时放弃我们的抓诈牌，即使在理论上说我们应该更激进地防守。这也是成为一名理论扎实的牌手是那么有用的一个主要原因。理论使得我们在对抗强手时更少犯错，面对弱手时更好地去榨取。
因此，在真正接触公式之前，我们先做几个预测。假设我们在河牌圈有无限量的筹码深度，而且对手从不加注我们的下注。此外，假设对手会做足够多的跟注，使我们的诈唬不亏不盈。因为这两个假设，位置不是很重要，因此可以假设我们有时在有利位置有时在不利位置。
那么，在河牌圈基于以上假设，一手对手15%的时候能击败你的牌应该下注多少（相对底池大小而言）？先停下来，认真思考出一个下注尺度，因为如果你下注过多或过少，其他水平和你相当的牌手也可能犯和你相同的错误。在你做出最好的推测后，解出那个下注尺度的期望值是一个不错的主意。你的对手会多频繁地跟注这个下注？当你被跟注后，你能多频繁地赢下底池？打好扑克需要付出努力，随着你继续进步，这类问题你往往需要能够回答。
在本例中，最优下注尺度是0.83个底池大小，我们稍后会解释这个值是如何计算出来的。当我们下注0.83个底池大小时，我们的对手需要在54.7%的时候跟注，才能使我们对诈唬不偏不倚。
1(1-X) – 0.83X = 0 ==> X = 0.547
这个信息能用来判断我们下注后的期望值。我们的对手将在54.7%的时候跟注，但他仅在15%的时候能击败我们。这意味着39.7%的时候他会跟注并输钱。因此，我们下注后的期望值是1.06。
1.06 = 0.453 x 1 + 0.397 x 1.83 – 0.15 x 0.83
这里：0.453是对手弃牌的频率，0.397是对手跟注并输钱的频率，0.15是对手跟注并赢钱的频率，1是底池大小，1.83是当对手跟注并输钱后我们的盈利，0.83是当对手跟注并赢钱后我们的损失。
这个期望值可以和check的期望值相比较。因为85%的时候我们将赢下底池，check的期望值是0.85个底池大小。
0.85 = 0.85 x 1 + 0.15 x 0
因此，通过河牌圈下注完美的金额，我们相比check增加了0.21个底池大小的期望值。
0.21 = 1.06 – 0.85
理解我们下注太多或下注过少所犯的错误也是重要的。下注过多导致我们输更多钱给击败我们的牌，同时也使对手放弃更多我们能击败的牌。虽然我们的下注被跟注后只要超过一半的时候能取胜就是赢利的，但仅仅一半的时候取胜将导致我们的下注只比check稍好一点。理想的下注尺度可导致我们合理的下注被跟注后大多数时候能取胜。
下注过少导致我们从被我们击败的牌那么得到太少的价值。这里，当我们被跟注，我们72.6%的时候将取胜，因而下注过少导致我们从被我们击败的牌中损失了太多价值，也降低了我们的期望值。
0.726 = 0.397 / 0.547
这里：0.397是对手跟注我们并输钱的频率，0.547是对手跟注我们的频率。
这类练习对于找出常见的漏洞非常有益。理解纸上的公式并没有用一种系统的方法找出你当前正在犯的错误并弥补它那么重要。
这里有一个计算河牌圈下注的期望值的公式。注意，这是下注的完全期望值，并不是下注相对于check的期望值。还要牢记的是，check的期望值会基于我们是否在有利位置而变化，因此下面的公式不能告诉我们是否下注比check更好。
当对抗一个希望使我们对诈唬不偏不倚的理想化的对手时，这个公式可用仅仅两个变量来表示。
下注的EV = [1 – 1 /( 1+ X)] (1) + [1/(1+X) - Y] （1 + X) – (Y)(X)
这里：X是相对底池大小而言的下注尺度，Y是我们失败的频率。
因为变量Y表示我们失败的频率，这个公式能够参考到对手诈唬加注的能力。谨记，当对手用一个平衡的范围诈唬加注时，我们将输掉这手牌。因此，如果我们的对手从不在河牌圈加注，那么Y将是他真正击败我们的频率。但是，万一他偶尔用一个平衡的范围加注，Y也将包括诈唬加注频率。
我们可以通过这个公式的衍生式来分析产生最大期望值的河牌圈下注尺度（Ｘ）。事实上，Y会基于我们的下注尺度、筹码深度和我们底牌的排除效应而轻微变化。也就是说，如果我们check或小额下注，我们的对手通常会下注或更激进地加注，也可更多地利用筹码深度。但是，假设筹码足够深，Y值往往只根据我们的下注尺度而小幅变化，因此值得把它当做一个常量来对待。
这是本书唯一需要用到微积分的公式，如果你不懂微积分，也不用担心。你还是可以通过代入自己的值来验证这个公式，看看它是否正确。如果你熟练掌握了微积分，你应该能够自己推导，在Bill Chen和Jerrod Ankenman合著的《扑克的数学》一书中给出了更多数学方面的解释。
0 = 1/(1 + X)2 – 2Y 或 Y = 1/2 (1 + X)2
这里：X是相对底池大小而言的下注尺度，Y是我们失败的频率。
这个公式窄看起来可能比较复杂。但幸运的是，经常一番调整后，它能用下面的方式来表示，并且能用一个二次方程式来解出接近完美的下注尺度。
0 = 1 -2Y(1 + 2X + X2)
这是一个非常重要的公式，值得仔细地做几个测试，以确保我们能轻松自如的使用它。首先，我们假设22%的时候我们会被对手打败。这需要我们将0.22代入Y，然后解出X值。
0 = 1 -2Y(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 -2* 0.22 (1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.44(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.44 – 0.88X – 0.44X2 ==>
0 = 0.56 – 0.88X – 0.44X2
我们就快解出X值了。现在我们需要做的是用google在线搜索“一次二次方程计算器”，然后点击其中的一个链接。代入数值后，应该会出现下面的答案。
X = -2.51 或 0.51
因为我们使用了二次方程式，我们通常会得到两个答案。通常来说，有一个答案（负值）对于扑克语境来说是毫无意义的，剩下的那个将是正确答案。在本例中，因为不可能下注-2.51个底池大小，下注0.51个底池大小明显是正确答案。这个下注尺度最大化了我们的期望值。它使得我们在被跟注后仍然能赢得可观的下注时大多数时候取胜。
我们再试一个例子。只是这次我们假设我们在河牌圈40%的时候被打败。在解出答案前猜测一个数值是一个不错的主意，这样你就能够判断出是否你通常下注太大还是太小了。
0 = 1 -2Y(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 -2* 0.4 (1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.8(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.8 – 1.6X – 0.8X2 ==>
0 = 0.2 – 1.6X – 0.8X2
把这些值代入二次方程式计算器，得出X的两个可能的值：-2.11或0.12。显然，最理想的下注尺度应该是0.12个底池大小。
尽管乍看起来当对手40%的时候能击败我们的时候，我们似乎应该总是下注0.12个底池大小，但这并不正确。如果对手只用跟注来防守，这才是正确的，但是，当对手有可能check-raise的时候，我们必须额外小心。这是因为，如之前的讨论，这个公式不能告诉我们在有利位置是下注还是check更有利可图，因为下注重启了行动，使得对手可以加注。
如果对手能够激进的check-raise，那么下注0.12个底池大小可能不如check。这是因为，在我们本可以通过check赢下底池的时候，对手无论何时用一个平衡的范围check-raise诈唬我们都会输掉底池（外加我们的下注）。因此，被check-raise诈唬将导致我们损失1.12个底池大小的资金。但是，当对手跟注我们时，我们仅能赢到0.12个底池大小的资金（而且我们有时被跟注后仍然会输钱），而且这个下注通常太小，难以证明它会重启战斗。
这使我们引出了一个关于下注尺度的有趣而重要的观点。通常而言，当处于不利位置时，下注一个非常小的金额通常在理论上是有意义的，因为对手不能重启下注。但是，当对手有一个平衡的check-raise范围时，在有利位置做相同的小额下注很少是最好的玩法。这是因为对手用差牌跟注赢得的这么一点点额外资金不能证明值得去冒被check-raise的风险。换句话说，对手check-raise越激进，我们就越应该随后check。这是因为下注导致我们频繁地输掉底池。
这里要提到的另一个重要的观点是，当有效筹码量很浅且全压是一种选择时，这个公式不能很好地用来判断在不利位置是否应该下注。这是因为，在我们全压后，对手没有任何机会去加注，通过用少量的资金全压，我们强迫对手用一个更宽的范围跟注。事实上，有时在不利位置全压是正确的，即使我们的牌会被对手范围中超过一半的牌（在他跟注之前）打败。因此，当有效筹码较浅的时候，用这个公式来确定下注尺度是不精确的，但重要的是在打牌的时候理解在第十一节“对比在有利位置和不利位置的河牌圈全压”那儿已经讨论过的概念。
最后，如我们将在下一节所见，这个公式没有考虑到底牌的排除效应。我们的底牌排除了一些可能会影响到对手跟注、加注和弃牌频率的一些牌。换句话说，不管我们拿着什么牌，对手都不可能总是根据我们的下注尺度来使用相同的频率跟注。这种效应会根据我们的底牌和公共牌结构不同程度地影响到对手的范围。
