德州扑克技巧诈唬策略:博弈论视角

从博弈论的角度分析诈唬(2):特殊情况中的期望回报


第一篇文章请点击这里:

从博弈论的角度分析诈唬(1):什么情况下该诈唬


今天,我们要说的是第三点:


一些特殊情况下的期望回报


下面两张表显示了特殊情况中的期望回报。


第一张图表示的是听牌失败时的期望回报,用上一篇文章的例子来计算:


对手的期望回报是你的期望回报的负数,再加上已经在底池中的$100。


他会得到你在下注轮的净损失+现有底池。当然如果你赢下底池的话,你的净损失是– $100,他没有回报。


来看看最简单的情况:当你的期望回报是0时,你的筹码量不会发生变化,因此你不会赢下底池,底池会被对手赢走。由于我们已经玩到河牌圈,所以这不是一个零和博弈。


 


如果你知道什么时候诈唬,什么时候价值下注,而对手却不知道,对他来说(也可能是对你),下面的这个图表会更有用。


这张表显示的是综合获胜和失败之后,你的期望回报。我们假设过,你有20%的时候领先,80%的时候落后,因此你的平均期望回报是 qEw + (1 – q)El。(这个结果的负值+底池现有的$100=对手的期望回报Eop。)


 


结论

当你面对优秀的对手时,最好的选择就是利用纳什均衡点为你提供的策略:xopt。在这种情况对手会用 yopt的策略打牌。如果他没有使用,他就在犯错(也说明他不是一个优秀的玩家),你就可以利用他的错误找到最佳的打法。


如果他经常跟注,你就少诈唬,如果他很少跟注,你就多诈唬。如果你能猜到他的跟注频率,就可以根据期望回报最大化的原则,计算自己应该诈唬的频率。


附录


◆◆
yopt是怎样计算的
◆◆


如果y = yopt,无论x是多少,你的期望回报都不会改变。让我们先假设x = 0,这时你什么牌也赢不了,公式是:

El = 0


现在假设x = 1,El的公式变为

El = (1 – yopt)P – yoptB


因为x=0和x=1时的期望回报一样,所以

(1 – yopt)P – yoptB = 0,


所以

    (1 – yopt)P = yoptB,

    P – yoptP = yoptB,

    P = yopt(P + B), 


最后

yopt = P/(P + B)


◆◆
从对手的角度来看
◆◆


现在我们从对手的视角看看这个问题。


首先我们要列出他的期望回报Eop。由于他不知道你的牌是领先还是落后,所以他的期望回报还会受到q的影响,所以这个公式会复杂一点:

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]


– qyB 表示你有优胜牌,你下注,他跟注,并且输了。


q(1 – y)0表示你有优胜牌,但是他弃牌,没有输赢。


(1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]是他领先时的情况。


方括号中xy(P + B)表示你诈唬,他跟注,他赢得底池和你的下注。

 x(1 – y)0 表示你诈唬,他弃牌,没有盈利和损失。


(1 – x)P表示你弃牌,他赢下底池的情况(包括他过牌赢下摊牌和他下注你弃牌两种情况)


省略其中为0的部分,我们得到

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB


如果对手知道你从不诈唬(x = 0),那他的最佳打法是什么?他永远不会跟注,在上面的公式中如果用0代替x,我们得到

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB


为了使结果最大化,我们必须让y = 0 (永远不跟注)。


反过来,如果对手知道你总是诈唬(x = 1),那他就很难找到最佳应对方式了。如果x = 1,我们得到

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB]


如果

(1 – q)(P + B) – qB > 0,

y = 1 (总是跟注)会让对手的期望回报最大化。


如果

(1 – q)(P + B) – qB < 0,


他就应该使用 y = 0 (永远不跟注)的策略。

(1 – q)(P + B) – qB < 0


意味着

    (1 – q)(P + B) < qB,

    P + B – qP – qB < qB,

    P + B < q(P + 2B), 


最后

q > (P + B)/(P + 2B)


在我们的例子中,P = B = $100,如果q > 2/3,对手应该永不跟注(即使他知道你总是下注;因此在这种情况中你总是应该诈唬), 当q < 2/3时,他应该总是跟注(如果他知道你总是诈唬)。记住,这个q的值也仅取决于底池大小和下注大小。


◆◆
xopt是怎么计算的?
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如果x = xopt,那么无论y是多少,对手的期望回报都不会改变。和之前一样,先假设y = 0。Eop的公式为

Eop = (1 – q)(1 – xopt)P


现在假设y = 1,我们得到


Eop = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB


因为y=0和y=1时的Eop一样,我们得到

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,


因此

qB = (1 – q) xopt (P + B)


(两边都有(1 – q)(1 – xopt)P,因此可以消掉),所以最终我们得到

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

  

 






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